複素数の章の要約、M.5

เวลาอ่าน “จำนวนเชิงซ้อน ม.5” ให้ทันสอบ ผมชอบแบ่งทบทวนเป็น 4 ก้อน: (1) รูปแบบและการดำเนินการ (2) สังยุค (3) ค่าสัมบูรณ์/อสมการ (4) สูตรหารากของจำนวนเชิงซ้อน เพราะข้อสอบมักวนอยู่กับสมบัติพวกนี้ 1) พื้นฐานที่ต้องคล่องก่อน ให้ z = a+bi (a,b เป็นจำนวนจริง, i^2=-1) - บวก/ลบ: (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i - คูณ: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i - หาร: \(\frac{a+bi}{c+di}\) ให้คูณด้วยสังยุคของส่วนล่าง: \(\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di}\) ได้ \(\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\) (จุดพลาดที่เจอบ่อยคือสลับเครื่องหมาย) 2) สังยุค (conjugate) ที่ข้อสอบชอบใช้ลัด สังยุคของ z คือ \(\bar z=a-bi\) สมบัติที่ผมท่องเป็นชุด: - \(z+\bar z=2a\) (ได้ “ส่วนจริง”) - \(z-\bar z=2bi\) (ได้ “ส่วนจินตภาพ”) - \(\overline{z+w}=\bar z+\bar w\), \(\overline{zw}=\bar z\,\bar w\) - \(\overline{\frac{z}{w}}=\frac{\bar z}{\bar w}\) (เมื่อ w≠0) ชุดนี้ช่วยทำโจทย์พิสูจน์สมบัติ/หาค่า a,b ได้เร็วมาก 3) ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (absolute value) จำให้ติดว่า \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) และสมบัติสำคัญ: - \(|z|\ge 0\) และ \(|z|=0\iff z=0\) - \(|\bar z|=|z|\) - \(|zw|=|z||w|\) - \(|z/w|=|z|/|w|\) (เมื่อ w≠0) - ตัวฮิตสุด: \(|z|^2 = z\bar z\) และอสมการรูปสามเหลี่ยมที่ออกบ่อย: - \(|z+w|\le |z|+|w|\) - \(||z|-|w||\le |z-w|\) ผมมักใช้สองบรรทัดนี้ตอนโจทย์ “พิสูจน์อสมการ” หรือ “หาค่าสูงสุด-ต่ำสุด” 4) สูตรรากที่สอง/สามของจำนวนเชิงซ้อน (ที่คนค้นเยอะ) ถ้าโจทย์ให้หา \(\sqrt{z}\) หรือ \(\sqrt[3]{z}\) วิธีที่ผมใช้มี 2 แบบ: - แบบแปลงเป็นเชิงขั้ว: เขียน z ในรูป \(re^{i\theta}\) แล้ว \(\sqrt{z}=\sqrt r\,e^{i(\theta/2)}\) (ได้ 2 คำตอบ เพราะมุมต่างกัน 2π) \(\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r}\,e^{i(\theta+2k\pi)/3}\), k=0,1,2 (ได้ 3 คำตอบ) - ถ้าโจทย์เป็นรากที่สองของ a+bi แบบพจน์จริง ๆ: สมมติ \(\sqrt{a+bi}=x+yi\) แล้วเทียบกำลังสอง (ระวังได้ 2 คำตอบ ±) ทริคปิดท้ายที่ผมใช้ก่อนสอบ 1) เจอโจทย์หาร/ทำให้ส่วนล่างเป็นจำนวนจริง ให้ “คูณสังยุค” เป็นอันดับแรก 2) เจอโจทย์เกี่ยวกับ |z| ให้คิดถึง \(|z|^2=z\bar z\) ก่อน เพราะลดรูปเร็ว 3) ถ้าโจทย์ถาม “จำนวนจริงแท้/จำนวนจินตภาพแท้” ให้ใช้เงื่อนไข: ส่วนจินตภาพ = 0 (เป็นจำนวนจริง), ส่วนจริง = 0 และส่วนจินตภาพ≠0 (เป็นจินตภาพแท้) หวังว่าสรุปเสริมนี้ช่วยให้สรุปจำนวนเชิงซ้อน ม.5 ใช้ได้จริงตอนทำข้อสอบ ถ้าคุณมีโจทย์เฉพาะแนบมา ผมช่วยชี้ว่าควรใช้สมบัติข้อไหนลัดได้ด้วย