ผลบวกของลำดับอนันต์ #ข้อสอบ

เวลาเจอโจทย์ “ผลบวกของอนุกรม/สูตรผลบวกอนุกรม” บางข้ออ่านครั้งแรกจะงงมาก (โดยเฉพาะพจน์ที่เป็นเศษส่วนต่างกันทีละ 2 แบบนี้) แต่จริง ๆ เป็นโจทย์สาย “อนุกรมตัดกัน” หรือ telescoping series ที่ทำให้สั้นลงได้เยอะ โจทย์นี้ให้ aₙ = 1/n − 1/(n+2) และต้องหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ Σ aₙ ตั้งแต่ n=1 ถึง ∞ 1) เริ่มจากเขียนผลบวกย่อย S_N ก่อน S_N = Σ_{n=1..N} (1/n − 1/(n+2)) 2) แตกเป็น 2 ผลบวกแล้วลองเขียนพจน์แรก ๆ ออกมา Σ_{n=1..N} 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/N และ Σ_{n=1..N} 1/(n+2) = 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/(N+2) 3) เอามาลบกัน จะเห็น “พจน์กลาง ๆ ตัดกันเอง” S_N = (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/N) − (1/3 + 1/4 + … + 1/(N+2)) พจน์ 1/3 ถึง 1/N จะตัดกันหมด เหลือแค่ S_N = 1 + 1/2 − 1/(N+1) − 1/(N+2) 4) ไปอนันต์ (N → ∞) เมื่อ N ใหญ่มาก 1/(N+1) และ 1/(N+2) จะเข้าใกล้ 0 ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมอนันต์ = 1 + 1/2 = 3/2 ทริคที่ช่วยให้ไม่พลาด (ใช้เช็กเร็ว ๆ): - ดูรูปแบบ “1/n − 1/(n+k)” มักจะเป็นอนุกรมตัดกัน และสุดท้ายจะเหลือพจน์ต้น ๆ จำนวน k ตัว - ลองบวกเช็กแบบคร่าว ๆ ด้วยผลบวกย่อย เช่น N=3 S_3 = (1−1/3)+(1/2−1/4)+(1/3−1/5) = 1+1/2−1/4−1/5 = 1.05… ซึ่งกำลังเข้าใกล้ 1.5 จริง สรุป: ข้อนี้เป็นโจทย์ “ผลบวกของอนุกรมอนันต์” ที่เด่นตรงการกระจายพจน์แล้วตัดกัน เหลือ 1 + 1/2 จบที่ 3/2