Geometric series # exam

เวลาเจอโจทย์ “อนุกรมเรขาคณิต” ในข้อสอบ เรามักพลาด 2 จุดคือ (1) หา n ไม่ครบ และ (2) เลือกสูตรผลบวกผิด เพราะไม่ได้ดูค่า r ให้ชัด ๆ เลยอยากสรุปวิธีคิดแบบที่เราใช้ทำเร็ว ๆ ให้ค่ะ 1) เช็กก่อนว่าเป็นลำดับ/อนุกรมเรขาคณิตจริงไหม ลองหารพจน์ติดกันดู ถ้าอัตราส่วนเท่ากันตลอด แปลว่าเป็นเรขาคณิต เช่น 5, 15, 45,… จะได้ r = 15/5 = 3 และ 45/15 = 3 เหมือนกัน - พจน์แรก a = 5 - อัตราส่วนร่วม r = 3 2) หาจำนวนพจน์ n จาก “พจน์ทั่วไป” ถ้ารูปโจทย์ให้พจน์ท้ายมา (เช่น … + 3,645) ให้ใช้สูตรพจน์ที่ n: \(a_n = a r^{n-1}\) แทนค่า: \(3645 = 5\cdot 3^{n-1}\) หารด้วย 5 ก่อน: \(729 = 3^{n-1}\) สังเกตว่า 729 = 3^6 ดังนั้น n-1 = 6 → n = 7 ทริคส่วนตัว: ถ้าตัวเลขเป็นกำลังของ 2, 3, 5 บ่อย ๆ ให้พยายามแตกเป็นกำลัง จะไวมากกว่ากดเครื่องคิดเลขวน ๆ 3) หาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต Sₙ โดยดู r เป็นหลัก ถ้า r ≠ 1 (ส่วนใหญ่ในข้อสอบเป็นแบบนี้) ใช้สูตร: \(S_n = a\frac{r^n-1}{r-1}\) ในตัวอย่าง a=5, r=3, n=7 \(S_7 = 5\cdot \frac{3^7-1}{3-1} = 5\cdot \frac{2187-1}{2} = 5\cdot 1093 = 5465\) ดังนั้นคำตอบคือ n=7 และ S₇=5,465 4) เช็กคำตอบแบบเร็ว (กันพลาด) ลองบวกจริงแบบคร่าว ๆ: 5+15+45+135+405+1215+3645 จับกลุ่มหรือไล่บวกทีละขั้น จะได้ 5465 ตรงกับสูตรพอดี 5) ข้อควรระวังที่เจอบ่อย - ลืมว่า n-1 อยู่ในชี้กำลัง ทำให้ตอบ n ผิดไป 1 - สลับสูตรเป็น \(\frac{1-r^n}{1-r}\) ทั้งที่ใช้สูตรมาตรฐานด้านบนก็พอ (สองสูตรเท่ากัน แต่ต้องจัดเครื่องหมายให้ถูก) - ถ้าโจทย์เป็นผลบวกอนันต์ จะต้องมี |r|<1 ถึงจะใช้ \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\) ได้ (อันนี้เจอในข้อสอบบ่อยเหมือนกัน) ถ้าอยากฝึกเพิ่ม แนะนำให้ลองเปลี่ยนพจน์ท้ายเป็นเลขอื่น แล้วฝึกหาค่า n กับ Sₙ ซ้ำ ๆ จะเริ่มคล่องมากก่อนสอบค่ะ