Automatically translated.View original post

At the start of this semester, whoever finds "complex numbers," don't be afraid. 💊

2025/10/25 Edited to

... Read moreāļ–āđ‰āļēāđ€āļžāļīāđˆāļ‡āđ€āļˆāļ­ â€œāļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™â€ āđāļĨāđ‰āļ§āļ‡āļ‡āļāļąāļšāļ„āļģāļ§āđˆāļē “āļŦāļ™āđˆāļ§āļĒāļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž i” āļŦāļĢāļ·āļ­ â€œāļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļžāļ„āļ·āļ­āļ­āļ°āđ„āļĢ” āļĨāļ­āļ‡āđ„āļĨāđˆāļˆāļēāļāļ āļēāļžāļĢāļ§āļĄāļ™āļĩāđ‰āļāđˆāļ­āļ™ āļˆāļ°āļŠāđˆāļ§āļĒāđƒāļŦāđ‰āļ—āļģāđ‚āļˆāļ—āļĒāđŒāđ„āļ”āđ‰āđ€āļ›āđ‡āļ™āļ‚āļąāđ‰āļ™āļ•āļ­āļ™āļĄāļēāļāļ‚āļķāđ‰āļ™āļ„āđˆāļ°/āļ„āļĢāļąāļš 1) āļŦāļ™āđˆāļ§āļĒāļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž i āļ„āļ·āļ­āļ­āļ°āđ„āļĢ? āļˆāļļāļ”āđ€āļĢāļīāđˆāļĄāļ‚āļ­āļ‡āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļžāļĄāļēāļˆāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ xÂē = -1 āļ—āļĩāđˆāļˆāļģāļ™āļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡āļ—āļģāđ„āļĄāđˆāđ„āļ”āđ‰ āđ€āļĢāļēāđ€āļĨāļĒ â€œāļ™āļīāļĒāļēāļĄâ€ āđƒāļŦāđ‰ i āđ€āļ›āđ‡āļ™āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āļ—āļĩāđˆāļ—āļģāđƒāļŦāđ‰ iÂē = -1 āļ”āļąāļ‡āļ™āļąāđ‰āļ™ i āđ„āļĄāđˆāđƒāļŠāđˆāļ•āļąāļ§āđāļ›āļĢ āđāļ•āđˆāđ€āļ›āđ‡āļ™āļ„āđˆāļēāļ„āļ‡āļ—āļĩāđˆ (āļŦāļ™āđˆāļ§āļĒāļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž) 2) āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™āđāļĨāļ°āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡/āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™āđ€āļ‚āļĩāļĒāļ™āļĢāļđāļ›āļĄāļēāļ•āļĢāļāļēāļ™āđ„āļ”āđ‰āđ€āļ›āđ‡āļ™ z = a + bi āđ‚āļ”āļĒ a āđāļĨāļ° b āđ€āļ›āđ‡āļ™āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡ - āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡ (Real part) āļ„āļ·āļ­ a - āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž (Imaginary part) āļ„āļ·āļ­ b (āļŠāļąāļ‡āđ€āļāļ•āļ§āđˆāļē “āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļžâ€ āļ„āļ·āļ­āļ„āđˆāļēāļŠāļąāļĄāļ›āļĢāļ°āļŠāļīāļ—āļ˜āļīāđŒāļŦāļ™āđ‰āļēāļ•āļąāļ§ i āđ„āļĄāđˆāđƒāļŠāđˆ bi) āļ•āļąāļ§āļ­āļĒāđˆāļēāļ‡: z = 3 - 5i → āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡ = 3, āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž = -5 3) āļāļēāļĢāđ€āļ‚āļĩāļĒāļ™āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™ 3 āļĢāļđāļ›āđāļšāļš (āļ—āļĩāđˆāđ€āļˆāļ­āļšāđˆāļ­āļĒ) - āđāļšāļš a+bi (āđƒāļŠāđ‰āļ„āļģāļ™āļ§āļ“āļšāļ§āļ āļĨāļš āļ„āļđāļ“ āļŦāļēāļĢāļšāđˆāļ­āļĒāļŠāļļāļ”) - āđāļšāļšāļ„āļđāđˆāļ­āļąāļ™āļ”āļąāļš (a, b) āđ€āļžāļ·āđˆāļ­āļŠāļ·āđˆāļ­āļ§āđˆāļē “āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡-āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļžâ€ - āđāļšāļšāđ€āļŠāļīāļ‡āļ‚āļąāđ‰āļ§ (polar) āđƒāļŠāđ‰āļ•āļ­āļ™āđ€āļĢāļ·āđˆāļ­āļ‡āļĢāļēāļāļ—āļĩāđˆ n āļ‚āļ­āļ‡āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™/De Moivre Tip: āđ€āļ§āļĨāļēāđ‚āļˆāļ—āļĒāđŒāđƒāļŦāđ‰āļĄāļēāđ€āļ›āđ‡āļ™āļĢāļđāļ›āļ­āļ·āđˆāļ™ āļžāļĒāļēāļĒāļēāļĄāđāļ›āļĨāļ‡āļāļĨāļąāļšāļĄāļē a+bi āļāđˆāļ­āļ™ āļˆāļ°āļĨāļ”āļžāļĨāļēāļ”āđ„āļ”āđ‰āđ€āļĒāļ­āļ° 4) āļ—āļĢāļīāļ„ i āļĒāļāļāļģāļĨāļąāļ‡ (āļ§āļ™āļ‹āđ‰āļģāļ—āļļāļ 4) āļˆāļģāđƒāļŦāđ‰āđ„āļ”āđ‰āļ§āđˆāļē iÂđ = i, iÂē = -1, iÂģ = -i, iâī = 1 āđāļĨāđ‰āļ§āļ§āļ™āļ‹āđ‰āļģ āđ€āļŠāđˆāļ™ iÂē⁰ = (iâī)âĩ = 1 āđ€āļŠāđˆāļ™ iÂđÂđ: 11 āļŦāļēāļĢ 4 āđ€āļŦāļĨāļ·āļ­āđ€āļĻāļĐ 3 → iÂđÂđ = iÂģ = -i 5) āļāļēāļĢāđ€āļ—āđˆāļēāļāļąāļ™āļ‚āļ­āļ‡āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™ (āđƒāļŠāđ‰āļŦāļēāļ„āđˆāļē x, y āļšāđˆāļ­āļĒāļĄāļēāļ) āļ–āđ‰āļē a+bi = c+di āļˆāļ°āđ„āļ”āđ‰ a=c āđāļĨāļ° b=d āļ•āļąāļ§āļ­āļĒāđˆāļēāļ‡: (2x-1) + (x+3)i = 5 + 2i āđ€āļ—āļĩāļĒāļšāļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡: 2x-1 = 5 → x=3 āđ€āļ—āļĩāļĒāļšāļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž: x+3 = 2 → x=-1 (āļ‚āļąāļ”āļāļąāļ™) āđāļ›āļĨāļ§āđˆāļē “āđ„āļĄāđˆāļĄāļĩāļ„āļģāļ•āļ­āļšâ€ āļ•āđ‰āļ­āļ‡āļĢāļ°āļ§āļąāļ‡! 6) āļĢāļēāļāļ—āļĩāđˆ n āļ‚āļ­āļ‡āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™ (āđāļ™āļ§āļ—āļĩāđˆāļ„āļ™āļ„āļĨāļīāļāļ™āđ‰āļ­āļĒāđāļ•āđˆāļŠāļ­āļšāļŠāļ­āļšāļ­āļ­āļ) āļ–āđ‰āļēāļ•āđ‰āļ­āļ‡āļŦāļē “āļĢāļēāļāļ—āļĩāđˆ n” āđāļ™āļ°āļ™āļģāđāļ›āļĨāļ‡āđ€āļ›āđ‡āļ™āļĢāļđāļ›āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‚āļąāđ‰āļ§āļāđˆāļ­āļ™: z = r(cosÎļ + i sinÎļ) āđāļĨāđ‰āļ§āđƒāļŠāđ‰āļŠāļđāļ•āļĢāļĢāļēāļ: āļĢāļēāļāļ—āļĩāđˆ n āļˆāļ°āļĄāļĩ n āļ„āļģāļ•āļ­āļš w_k = r^(1/n) [cos((Îļ+2kπ)/n) + i sin((Îļ+2kπ)/n)], k=0,1,...,n-1 āļ›āļĢāļ°āļŠāļšāļāļēāļĢāļ“āđŒāļŠāđˆāļ§āļ™āļ•āļąāļ§āļ„āļ·āļ­āļžāļĨāļēāļ”āļ•āļĢāļ‡āļŦāļ™āđˆāļ§āļĒāļĄāļļāļĄāđāļĨāļ°āļāļēāļĢāļšāļ§āļ 2kπ āļšāđˆāļ­āļĒāļĄāļēāļ āđ€āļ‚āļĩāļĒāļ™ k āđ„āļĨāđˆāļ—āļĩāļĨāļ°āļ„āđˆāļēāđāļĨāđ‰āļ§āļ„āđˆāļ­āļĒāļŠāļĢāļļāļ›āļˆāļ°āļŠāļąāļ§āļĢāđŒāļāļ§āđˆāļē 7) āļŠāļąāļ‡āļĒāļļāļ„ (conjugate) āļŠāđˆāļ§āļĒāļ—āļģāļŦāļēāļĢāđƒāļŦāđ‰āļŠāļ§āļĒ āļŠāļąāļ‡āļĒāļļāļ„āļ‚āļ­āļ‡ a+bi āļ„āļ·āļ­ a-bi āđ€āļ§āļĨāļēāđ€āļˆāļ­ (a+bi)/(c+di) āđƒāļŦāđ‰āļ„āļđāļ“āļ”āđ‰āļ§āļĒāļŠāļąāļ‡āļĒāļļāļ„āļ‚āļ­āļ‡āļŠāđˆāļ§āļ™āļĨāđˆāļēāļ‡ (c-di) āļˆāļ°āļ—āļģāđƒāļŦāđ‰āļŠāđˆāļ§āļ™āļĨāđˆāļēāļ‡āļāļĨāļēāļĒāđ€āļ›āđ‡āļ™āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡ āļ–āđ‰āļēāļ­āļĒāļēāļāļ—āļģāđ‚āļˆāļ—āļĒāđŒāđƒāļŦāđ‰āđ„āļ§āļ‚āļķāđ‰āļ™ āđāļ™āļ°āļ™āļģāļ‹āđ‰āļ­āļĄ 3 āđ€āļĢāļ·āđˆāļ­āļ‡āļ™āļĩāđ‰āļāđˆāļ­āļ™: āđ€āļ—āļĩāļĒāļšāļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļĢāļīāļ‡/āļŠāđˆāļ§āļ™āļˆāļīāļ™āļ•āļ āļēāļž, i āļĒāļāļāļģāļĨāļąāļ‡, āđāļĨāļ°āļāļēāļĢāđƒāļŠāđ‰āļŠāļąāļ‡āļĒāļļāļ„āđƒāļ™āļāļēāļĢāļŦāļēāļĢ—āļžāļ­āļ„āļĨāđˆāļ­āļ‡āđāļĨāđ‰āļ§āļ„āđˆāļ­āļĒāđ„āļ›āļ•āđˆāļ­āđ€āļĢāļ·āđˆāļ­āļ‡āļĢāļēāļāļ—āļĩāđˆ n āļ‚āļ­āļ‡āļˆāļģāļ™āļ§āļ™āđ€āļŠāļīāļ‡āļ‹āđ‰āļ­āļ™āļ„āđˆāļ°/āļ„āļĢāļąāļš