📌Four matrix problems that I like to see on the exam.

จากคำค้นที่เจอบ่อยอย่าง “det a+b” กับ “determinant ข้อสอบ กว” เราเลยขอเติมสรุปเรื่อง determinant ที่ออกแนวกับดักบ่อย ๆ เวลาเจอข้อสอบแบบเมทริกซ์ (โดยเฉพาะตอนต้องหา det ของเมทริกซ์ที่นิยามผ่าน A,B,C) 1) จำสูตร det เมทริกซ์ 2×2 ให้แม่น ถ้า M = [p q; r s] จะได้ det(M)=ps-qr ข้อนี้ช่วยมากเวลาข้อสอบให้ A=[1 a; b -1] แล้วบอกว่า A^2=-I (หรือคล้าย ๆ กัน) เพราะสุดท้ายมักพาเราไปหา ab หรือหาเงื่อนไขบางอย่างจากการเทียบสมาชิกของเมทริกซ์ 2) “det(A+B)” ไม่เท่ากับ “det A + det B” (ส่วนใหญ่) หลายคนพลาดตรงนี้เพราะเห็นคำว่า det a+b แล้วเผลอคิดว่าเอาดีเทอร์มิแนนต์มาบวกกันได้เลย จริง ๆ แล้ว det เป็นฟังก์ชันไม่เชิงเส้น ยกเว้นกรณีพิเศษมาก ๆ เช่น A กับ B มีโครงสร้างเฉพาะ (เช่นเป็นสเกลาร์เมทริกซ์บางแบบ) ถึงจะมีความสัมพันธ์ง่าย ๆ ดังนั้นเวลาโจทย์ถาม det(A+B) ให้คำนวณ “A+B ก่อน” แล้วค่อยหา det ตัวอย่างแนวคิด (2×2): A=[1 0;0 1], B=[1 0;0 1] A+B=[2 0;0 2] => det(A+B)=4 แต่ detA+detB=1+1=2 (ไม่เท่ากัน) 3) ทริก det ของการคูณและสเกลาร์ (ออกบ่อยมาก) - det(kA)=k^n det(A) เมื่อ A เป็น n×n - det(AB)=det(A)det(B) ทริกนี้สำคัญมากเวลาโจทย์ให้ C=2AB+B แล้วถาม det C (เหมือนโจทย์แนว “กำหนด A,B และ C=2AB+B ให้หา a ที่ทำให้ det C=24”) วิธีที่เราชอบทำคือ “ดึง B ออก” หากจัดรูปได้: C=2AB+B = (2A+I)B แล้ว det(C)=det(2A+I)det(B) จากนั้นค่อยไปคำนวณ det(2A+I) แบบ 2×2 และ det(B) ทีละก้อน จะเร็วกว่าไปคูณเมทริกซ์เต็ม ๆ แล้วค่อยหา det 4) เมทริกซ์ซิงกูลาร์คือ det=0 โจทย์แนว “หา x ที่ทำให้ A เป็นเมทริกซ์ซิงกูลาร์” ให้ตั้ง det(A)=0 โดยตรง ถ้าเป็น 3×3 ให้เลือกวิธีที่เร็วที่สุด เช่น ขยายตามแถว/คอลัมน์ที่มีศูนย์เยอะ หรือทำ row operation แบบที่ระวังเรื่อง det (สลับแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย, คูณแถวด้วย k ทำให้ det คูณ k, บวกแถวหนึ่งกับอีกแถว det ไม่เปลี่ยน) 5) เช็กลำดับขั้นตอนกันพลาดในข้อสอบ - ถ้าโจทย์ให้ “หาเมทริกซ์ X จากสมการ 2X - M = N” ให้ย้ายข้างก่อน: 2X = N + M แล้ว X = (N+M)/2 (ค่อยหารทุกสมาชิก) - ถ้าโจทย์พูดถึง det หรือ singular ให้ถามตัวเองเสมอว่า “ต้องหาค่า det ก่อนหรือจัดรูปก่อน?” เพราะหลายข้อทำเร็วได้ด้วยการแฟกเตอร์/จัดรูป เช่น C=(2A+I)B ถ้าอยากให้บทความนี้ทำโจทย์ “det(A+B)” เพิ่มแบบที่ออกสอบ กว บ่อย ๆ บอกขนาดเมทริกซ์ (2×2 หรือ 3×3) กับรูปแบบที่เจอ เดี๋ยวเราจะเพิ่มชุดโจทย์ฝึก + เฉลยแนวคิดให้ครบเลย