เวกเตอร์ 3 มิติ✍🏻 ชีทจากไลฟ์สดวันนี้

ถ้าน้อง ๆ กำลังงงว่า “เวกเตอร์คืออะไร” ให้จำสั้น ๆ ว่าเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มี “ขนาด” และ “ทิศทาง” (เช่น การกระจัด ความเร็ว แรง) ต่างจากสเกลาร์ที่มีแค่ขนาดอย่างเดียว เวลาวาดในโจทย์เรามักแทนด้วยลูกศร โดยความยาวลูกศรสื่อถึงขนาด และปลายลูกศรสื่อถึงทิศทาง เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากเขียนได้หลายแบบที่เจอบ่อย ๆ คือ - แบบพิกัด: (a,b) ใน 2 มิติ หรือ (a,b,c) ในเวกเตอร์สามมิติ - แบบ i j k: ai + bj (+ ck) ซึ่ง i, j, k คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกน x, y, z ทริคที่พลาดบ่อยคือ “เครื่องหมาย” โดยเฉพาะเวลาหาเวกเตอร์จากจุด อย่าลืมทำเป็น “ปลาย - ต้น” เสมอ การหาเวกเตอร์จากจุด (สำคัญมากในข้อสอบ) ถ้าให้จุด A(x1,y1,z1) และ B(x2,y2,z2) แล้วเวกเตอร์ \(\overrightarrow{AB}\) คือ \(\overrightarrow{AB} = (x2-x1,\ y2-y1,\ z2-z1)\) ส่วน \(\overrightarrow{BA}\) ก็สลับเป็น (x1-x2, y1-y2, z1-z2) หรือพูดง่าย ๆ คือ \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) หาขนาดเวกเตอร์ (Magnitude) ถ้า \(\vec{v}=(a,b)\) จะมีขนาด \(|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}\) และถ้าเป็นเวกเตอร์สามมิติ \(\vec{v}=(a,b,c)\) จะเป็น \(|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) ตัวอย่างไว ๆ: ถ้า \(\vec{v}=(3,-4)\) ขนาดคือ \(\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\) เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector) “เวกเตอร์1หน่วย” คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 วิธีทำคือเอาเวกเตอร์เดิมหารด้วยขนาดของมัน \(\hat{v} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\) เช่น \(\vec{v}=(3,-4)\) จะได้ \(\hat{v}=(3/5,-4/5)\) ข้อควรระวัง: ถ้าโจทย์ให้เวกเตอร์ศูนย์ (0,0,0) จะหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยไม่ได้ เพราะขนาดเป็น 0 เวกเตอร์ที่ “ทิศทางเดียวกัน/ตรงข้าม” และการคูณด้วยค่าคงที่ ถ้าอยากได้เวกเตอร์ที่ทิศทางเดียวกับ \(\vec{v}\) และมีขนาด L ให้ใช้ \(\vec{u} = L\,\hat{v} = L\dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\) ถ้าทิศทางตรงข้ามก็ใส่ลบเข้าไป: \(\vec{u} = -L\hat{v}\) จำภาพรวม: คูณด้วยจำนวนบวก → ทิศเดิม, คูณด้วยจำนวนลบ → กลับทิศ และขนาดถูกคูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวคูณ สุดท้ายเรื่อง “บวก-ลบเวกเตอร์” ในพิกัดทำง่ายมาก: บวก/ลบแยกเป็นรายแกน เช่น (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) ถ้าทำตามนี้สม่ำเสมอ น้อง ๆ จะพลาดน้อยลงและไล่ทำโจทย์ได้ไวขึ้นครับ