💙Solving the power equation ✌️ using the formula

หลายคนเจอคำว่า “สมการกำลังสองสมบูรณ์” (Complete the Square) แล้วงงว่าต้องเริ่มยังไง จริง ๆ มันคือเทคนิคจัดรูปพหุนามดีกรีสองให้อยู่ในรูป “กำลังสองของวงเล็บ” เพื่อหาคำตอบของสมการ หรือเอาไปใช้ต่อกับกราฟพาราโบลา/หาค่าสูงสุดต่ำสุดก็ได้ แนวคิดหลักคือทำให้ได้รูป (x+p)^2 = q หรือ (ax+b)^2 = k แล้วค่อยถอดรากเป็นคำตอบ วิธีนี้ใช้ได้กับสมการทั่วไป ax^2+bx+c=0 โดยเฉพาะตอนที่อยากเห็นโครงสร้างชัด ๆ ไม่พึ่งสูตรอย่างเดียว ขั้นตอนมาตรฐาน (กรณีสัมประสิทธิ์หน้ากำลังสองเป็น 1): 1) จัดกลุ่ม x^2 และ x ไว้ด้วยกัน: x^2+bx+c=0 → (x^2+bx)+c=0 2) ทำให้ในวงเล็บเป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดย “เติมและลบ” ค่าที่เหมาะสม ทริคจำง่าย: เอา b หาร 2 แล้ว “ยกกำลังสอง” ดังนั้น x^2+bx = (x + b/2)^2 − (b/2)^2 3) แทนกลับแล้วแก้สมการต่อจนได้ x ตัวอย่าง 1: x^2 − 5x + 2 = 0 จัดรูป: (x^2 − 5x) + 2 = 0 เติมกำลังสองสมบูรณ์: b = −5 ⇒ b/2 = −5/2 ⇒ (b/2)^2 = 25/4 ดังนั้น x^2 − 5x = (x − 5/2)^2 − 25/4 แทนกลับ: (x − 5/2)^2 − 25/4 + 2 = 0 2 = 8/4 ⇒ (x − 5/2)^2 − 17/4 = 0 ย้ายข้าง: (x − 5/2)^2 = 17/4 ถอดราก: x − 5/2 = ±(√17)/2 สรุปคำตอบ: x = (5 ± √17)/2 ตัวอย่าง 2 (กรณี a ไม่เท่ากับ 1): 2x^2 − 5x + 2 = 0 วิธีที่ผมใช้บ่อยคือ “ดึง a ออกก่อน” 2x^2 − 5x + 2 = 0 → 2(x^2 − (5/2)x) + 2 = 0 ย้าย 2 ไปด้วยก็ได้: 2(x^2 − (5/2)x + 1) = 0 (อันนี้ต้องระวัง ทำให้สมการเปลี่ยนถ้าเติมไม่ครบ) วิธีปลอดภัย: 2(x^2 − (5/2)x) = −2 ทำกำลังสองสมบูรณ์ในวงเล็บ: b = −5/2 ⇒ b/2 = −5/4 ⇒ (b/2)^2 = 25/16 x^2 − (5/2)x = (x − 5/4)^2 − 25/16 แทนกลับ: 2[(x − 5/4)^2 − 25/16] = −2 กระจาย: 2(x − 5/4)^2 − 25/8 = −2 ย้ายข้าง: 2(x − 5/4)^2 = 25/8 − 2 = 25/8 − 16/8 = 9/8 หาร 2: (x − 5/4)^2 = 9/16 ถอดราก: x − 5/4 = ±3/4 สรุป: x = 5/4 ± 3/4 ⇒ x = 2 หรือ x = 1/2 ทริคกันพลาดที่เจอบ่อย: - ลืม “เติมแล้วต้องลบคืน” ทำให้ค่าคงที่เพี้ยน - ตอน a ≠ 1 ถ้าไม่ดึง a ออกก่อน จะจัดรูปยากและหลงทางง่าย - ถอดรากต้องใส่ ± เสมอ (เพราะกำลังสองมีสองราก) ถ้าเพิ่งเริ่ม ผมแนะนำทำโจทย์จากรูปแบบง่าย ๆ ก่อน เช่น x^2+6x+… แล้วค่อยไปแบบมี a นำหน้า จะเริ่มเห็นแพตเทิร์น และพอชำนาญแล้วจะเชื่อมไปถึงสูตรกำลังสอง (−b±√(b^2−4ac))/2a ได้เองเลย