ลำดับ และอนุกรม

วันนี้ขอมา “สรุปสูตรลำดับและอนุกรม” แบบที่ฉันใช้ทบทวนก่อนสอบ ม.5 บ่อยๆ เน้น an และ Sn ให้ครบ แล้วตามด้วยทริคเลือกสูตร + ตัวอย่างแนวที่คนชอบค้นหา 1) ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) เงื่อนไข: ผลต่างร่วม d คงที่ (เช่น เพิ่มทีละ 3, ลดทีละ 2) - สูตรพจน์ที่ n: an = a1 + (n-1)d - หา d: d = a2 - a1 หรือ d = an - a(n-1) - สูตรผลบวก n พจน์ (อนุกรมเลขคณิต): Sn = n/2[2a1 + (n-1)d] หรือ Sn = n/2(a1 + an) ทริคที่ฉันใช้: ถ้าโจทย์พูดว่า “เพิ่มเท่ากันทุกครั้ง” หรือให้รูปแบบ 2, 5, 8, 11,… ให้คิดเลขคณิตก่อน แล้วรีบหา d 2) ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) เงื่อนไข: อัตราส่วนร่วม r คงที่ (เช่น คูณ 2 ทุกครั้ง, หาร 3 ทุกครั้ง) - สูตรพจน์ที่ n: an = a1 * r^(n-1) - หา r: r = a2/a1 หรือ r = an/a(n-1) - สูตรผลบวก n พจน์ (อนุกรมเรขาคณิต เมื่อ r ≠ 1): Sn = a1(r^n - 1)/(r - 1) หรือ Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r) ทริค: เลือกเวอร์ชันที่ “ไม่ต้องสลับเครื่องหมาย” เช่น ถ้า r>1 ฉันมักใช้ (r^n-1)/(r-1) จะจำง่าย 3) ตัวอย่างยอดฮิต: 1+3+5+7+9+…+n ใช้สูตรอะไร? ลำดับ 1,3,5,7,… เป็นเลขคณิต เพราะ d=2 ถ้าให้ “ผลบวกของจำนวนคี่ n พจน์แรก” จะได้ a1=1, d=2 an = 1 + (n-1)2 = 2n-1 ดังนั้น Sn = n/2(a1+an) = n/2(1 + (2n-1)) = n/2(2n) = n^2 สรุปที่ฉันชอบจำ: “ผลบวกเลขคี่ n พจน์แรก = n^2” 4) วิธีเลือกสูตรให้ไว (กันสับสน an vs Sn) - ถามหา “พจน์ที่ n” / “พจน์ทั่วไป” → ใช้ an - ถามหา “ผลบวก n พจน์” / “รวมกันได้เท่าไร” → ใช้ Sn - เพิ่ม/ลดเท่ากัน → เลขคณิต (d) - คูณ/หารเท่ากัน → เรขาคณิต (r) 5) เช็กลิสต์ก่อนแทนค่า (กันพลาด) - ระวัง a1 คือพจน์แรกเสมอ ไม่ใช่พจน์ที่โจทย์ยกตัวอย่างมาลอยๆ - n ต้องเป็น “จำนวนพจน์ที่รวม” ไม่ใช่ค่าของ an - ถ้าโจทย์ให้ a3, a7 แล้วให้หา a1/d หรือ a1/r: ตั้งสมการจาก an = a1+(n-1)d หรือ an=a1 r^(n-1) ได้เลย 2 สมการแก้พร้อมกัน ถ้าคุณกำลังหา “สูตรอนุกรมทั้งหมด” ฉันแนะนำให้จำ 4 สูตรหลักนี้ให้ขึ้นใจ: an เลขคณิต, an เรขาคณิต, Sn เลขคณิต, Sn เรขาคณิต แล้วค่อยฝึกโจทย์สั้นๆ วันละ 5 ข้อ จะเริ่มแยกประเภทได้เร็วมาก