สรุปเมทริกซ์

ถ้าใครกำลังอ่าน “เมทริกซ์ ม.5” แล้วงง ๆ เราแนะนำให้ไล่ทำความเข้าใจตามลำดับนี้ จะช่วยให้ทำโจทย์ “การคูณเมทริกซ์”, “หา det 2x2/3x3” และ “อินเวอร์ส เมทริกซ์ 3x3” ได้ลื่นขึ้นมาก 1) เมทริกซ์คืออะไร + เช็กขนาดก่อนทำเสมอ เมทริกซ์คือการจัดข้อมูลเป็นตาราง m×n (m แถว n หลัก) เวลาโจทย์ให้ A เป็น 2×3 แปลว่า 2 แถว 3 หลัก และ “ขนาด” สำคัญมาก เพราะเป็นตัวกำหนดว่าเราบวก/คูณได้ไหม 2) ประเภทของเมทริกซ์ที่ออกบ่อย - เมทริกซ์ศูนย์: ทุกช่องเป็น 0 (ใช้เช็กสมบัติการบวก) - เมทริกซ์จตุรัส: n×n (ถึงจะหา det และอินเวอร์สได้) - เมทริกซ์เอกลักษณ์ I: แนวทแยงเป็น 1 ที่เหลือ 0 และมีสมบัติ AI = IA = A 3) การเท่ากันของเมทริกซ์ (จุดพลาดประจำ) A = B ได้ก็ต่อเมื่อ “ขนาดเท่ากัน” และ “สมาชิกตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุกช่อง” ดังนั้นโจทย์เทียบเมทริกซ์เพื่อหา x,y ให้ดูทีละตำแหน่ง ไม่ต้องเดาสุ่ม 4) การบวก-ลบเมทริกซ์ ทำได้เมื่อขนาดเท่ากันเท่านั้น และบวก/ลบแบบช่องต่อช่อง สมบัติที่ควรรู้: สลับที่และจับกลุ่มได้ในการบวก (แต่เอาไปใช้กับการคูณไม่ได้นะ) 5) การคูณเมทริกซ์ (คำถามยอดฮิต) เงื่อนไข: ถ้า A เป็น m×n และ B เป็น n×p ถึงจะคูณ AB ได้ และผลลัพธ์เป็น m×p วิธีทำให้ไม่หลง: “แถวของ A” คูณ “หลักของ B” แล้วบวกกัน เช่น ช่อง (1,1) ของ AB = (แถว1ของA)·(หลัก1ของB) ข้อควรจำ: การคูณเมทริกซ์ “ไม่สลับที่” โดยทั่วไป AB ≠ BA (อันนี้ทำให้หลายคนพลาดตอนจัดรูป) 6) สูตร det ที่ควรคล่อง - det 2×2: |a b; c d| = ad − bc - det 3×3: ถ้าทำแบบขยายตามแถว (cofactor) จะปลอดภัยสุดสำหรับสอบ ทริกส่วนตัว: ก่อนคำนวณ det 3×3 เราจะตรวจเลขให้แน่ใจว่าไม่สลับเครื่องหมาย +/− เพราะพลาดตรงนี้บ่อยกว่าเรื่องคูณเลขอีก 7) เมทริกซ์ผกผัน (inverse) เมทริกซ์จตุรัส A จะมี A^{-1} ได้เมื่อ det(A) ≠ 0 และมีสมบัติสำคัญ A A^{-1} = I สำหรับ 2×2 จำสูตรตรงได้: A^{-1} = (1/det(A)) [d −b; −c a] ส่วนอินเวอร์ส เมทริกซ์ 3×3 มักใช้แนวคิด adj(A)/det(A) หรือวิธีแถวลดรูป (ทำ [A|I] ให้เป็น [I|A^{-1}]) ถ้าโจทย์ยาว แนะนำตั้งแถวลดรูปจะเป็นขั้นเป็นตอนและตรวจง่าย เช็กลิสต์ก่อนส่งคำตอบ (ช่วยลดผิดพลาด): - เช็กขนาดเมทริกซ์ก่อนบวก/คูณ - คูณเมทริกซ์ให้จำ “ในติดกัน” (m×n คูณ n×p) - หา det แล้วดูว่า det=0 ไหมก่อนพูดถึงอินเวอร์ส - ระวังเครื่องหมายตอน det 3×3 และการจัดวงเล็บตอนคูณ