สรุปเนื้อหาคณิต ม.4 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ถ้าใครค้นหา “สรุปฟังก์ชัน ม.4” แล้วอยากได้แนวเช็กคำตอบเร็ว ๆ ก่อนทำโจทย์ เราแนะนำให้ไล่ตามเช็กลิสต์นี้ (ใช้ได้กับเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 หลักสูตรใหม่ด้วย) 1) ความสัมพันธ์ vs ฟังก์ชัน (ต้องจำให้แม่น) - ความสัมพันธ์คือ “เซตของคู่อันดับ” (x,y) จะมาจากผลคูณคาร์ทีเชียน A×B ได้ - ฟังก์ชันจาก A ไป B คือความสัมพันธ์ที่ “แต่ละ x ใน A ต้องจับคู่กับ y ใน B ได้ ‘เพียงค่าเดียว’ ” ทริค: ถ้าในคู่อันดับมี x เดิมซ้ำ แต่ y ต่างกัน = ไม่เป็นฟังก์ชันทันที 2) หาโดเมน–เรนจ์แบบไม่หลุดเงื่อนไข (อันนี้คนพลาดบ่อย) - โดเมน (Domain): ค่าของ x ที่ “แทนได้จริง” ตามเงื่อนไขของนิพจน์ - เรนจ์ (Range): ค่าของ y ที่เกิดขึ้นได้จากโดเมน เช็กเงื่อนไขสำคัญที่เจอในบทนี้: - รากที่สอง: ใต้รูทต้อง ≥ 0 - เศษส่วน: ตัวส่วนต้อง ≠ 0 - ลอการิทึม: สิ่งที่อยู่ใน log ต้อง > 0 และฐานต้อง > 0, ≠ 1 - สมการกำลังสอง/พาราโบลา: เรนจ์มักดูจากค่าสูงสุด-ต่ำสุด (vertex) หรือใช้การทำกำลังสองสมบูรณ์ 3) เช็ก “หนึ่งต่อหนึ่ง” และ “ทั่วถึง” ให้เป็นระบบ - หนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one): x ต่างกันต้องได้ y ต่างกัน วิธีเช็กไว ๆ: • จากคู่อันดับ: ห้ามมี y ซ้ำ (เมื่อเป็นฟังก์ชันแล้ว) • จากกราฟ: ใช้เส้นขนานแกน x (Horizontal line test) ถ้าตัดกราฟเกิน 1 จุด = ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง - ทั่วถึง (onto): ทุก y ใน B ต้องถูกแมปมาจาก x อย่างน้อยหนึ่งค่า วิธีเช็ก: ต้องรู้ “โคโดเมน B” ก่อนเสมอ แล้วดูว่าเรนจ์ครอบคลุม B หมดไหม 4) ฟังก์ชันประกอบ (f∘g) ที่ชอบออกสอบ - (f∘g)(x)=f(g(x)) ทำในวงเล็บด้านในก่อน - เงื่อนไขโดเมนของ f∘g: x ต้องอยู่ในโดเมนของ g และ g(x) ต้องอยู่ในโดเมนของ f ด้วย ทริค: ทำโดเมนทีละชั้น จะไม่พลาดเงื่อนไขราก/เศษส่วน/ลอค 5) อินเวอร์สของฟังก์ชัน (f^{-1}) - จะมีอินเวอร์สได้ “ต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง” (ถ้าไม่หนึ่งต่อหนึ่ง ต้องจำกัดโดเมนก่อน) วิธีหาอินเวอร์สที่ใช้บ่อย: 1) ตั้ง y=f(x) 2) สลับ x กับ y 3) แก้สมการหา y 4) เขียนเป็น f^{-1}(x) และเช็กโดเมน-เรนจ์สลับกัน ถ้าอ่านสรุปแล้วอยากทำให้คล่อง แนะนำทำโจทย์สั้น ๆ หลังแต่ละหัวข้อ: หาโดเมน/เรนจ์ 3 ข้อ, เช็กเป็นฟังก์ชัน 3 ข้อ, หา f∘g 2 ข้อ, หาอินเวอร์ส 2 ข้อ จะช่วยให้จำได้ไวและไม่หลุดเงื่อนไขตอนสอบ
