สรุป จำนวนเชิงซ้อน ม.5 ใน 1 หน้า

ถ้าอ่านสรุปหน้าเดียวแล้วยังรู้สึก “ทำโจทย์ไม่ได้” ส่วนใหญ่จะติดอยู่ไม่กี่จุดนี้ เราเลยรวบรวมทริคที่ช่วยให้คลิกขึ้น (เน้นตามคำค้นที่คนชอบหา เช่น สูตรจำนวนเชิงซ้อน, สมบัติจำนวนเชิงซ้อน, รากที่ n และสมการเชิงซ้อน) 1) ตั้งหลักให้ชัด: a+bi คืออะไร จำนวนเชิงซ้อนเขียนในรูปมาตรฐาน z=a+bi (a คือส่วนจริง, b คือสัมประสิทธิ์ของจำนวนจินตภาพ) และ i^2=-1 ทริคตอนคูณ/ยกกำลังคือ “ลดกำลัง i” ด้วยวงรอบ i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 2) สมบัติที่ออกบ่อย: สังยุคและการหาร สังยุคของ z=a+bi คือ z̄=a-bi ข้อดีคือ z·z̄=a^2+b^2 ทำให้เวลาหารจำนวนเชิงซ้อนทำได้ไวมาก: (a+bi)/(c+di) ให้คูณด้วย (c-di) ทั้งเศษและส่วน แล้วจัดรูปกลับมาเป็น A+Bi 3) ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) ที่หลายคนพลาด |z|=sqrt(a^2+b^2) และจำไว้ว่า |z|^2 = z·z̄ = a^2+b^2 โจทย์ชอบให้พิสูจน์หรือแปลงรูป เช่น |z1z2|=|z1||z2| และ |z1/z2|=|z1|/|z2| (เมื่อ z2≠0) 4) รูปเชิงขั้ว + De Moivre = ทางลัดของการยกกำลัง แปลงเป็นรูปเชิงขั้ว: z=r(cosθ+i sinθ) โดย r=|z| แล้วใช้ De Moivre: z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ) ทริคเล็ก ๆ: ถ้าโจทย์ให้ “คูณ/หาร/ยกกำลัง” การคิดในรูปเชิงขั้วมักเร็วกว่าในรูป a+bi โดยเฉพาะเวลามีมุมสวย ๆ (เช่น 30°, 45°, 60°) 5) รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (หัวใจของคำค้น “รากที่ n”) ถ้า z=r(cosθ+i sinθ) รากที่ n คือ w_k = r^(1/n) [cos((θ+2kπ)/n) + i sin((θ+2kπ)/n)] เมื่อ k=0,1,…,n-1 ทริคจำ: “บวก 2kπ แล้วหาร n” และได้คำตอบครบ n คำตอบเรียงเป็นจุดบนวงกลม 6) สูตรรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน (กรณีพิเศษที่ใช้บ่อย) ต้องหารากของ z=a+bi ให้ตั้ง w=x+yi แล้วเทียบ (x+yi)^2=a+bi หรือใช้แนวคิด r,θ แล้วเอา n=2 ในสูตรรากที่ n จะได้เร็วกว่าในหลายข้อ 7) สมการเชิงซ้อน/พหุนาม: เช็กคำตอบด้วย “สังยุค” ถ้าสมการพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง เมื่อมีรากเชิงซ้อน a+bi แล้ว a-bi จะเป็นรากด้วยเสมอ (มาเป็นคู่สังยุค) ข้อนี้ช่วยตัดตัวเลือกและตรวจคำตอบได้ไวมาก ถ้าอยากฝึกให้คล่อง แนะนำทำโจทย์แบบไล่สเต็ป: (1) จัดรูป a+bi ให้ถูก (2) ถ้าเป็นกำลัง/ราก ใช้รูปเชิงขั้ว (3) ตรวจความสมเหตุสมผลด้วย |z| หรือคู่สังยุค ทำบ่อย ๆ แล้วบทจำนวนเชิงซ้อนจะไม่ “สุดหิน” อย่างที่คิด