#คณิตคิดไว ep54 ทฤษฎีเศษเหลือ จำนวนจริง ม.4

เวลาอ่านเรื่อง “ทฤษฎีบทเศษเหลือ” (หลายคนเรียกสั้น ๆ ว่า “ทฤษฎีเศษเหลือ”) สิ่งที่ช่วยให้ทำโจทย์ได้เร็วคือจำแก่นให้แม่นว่า “เศษ = ค่าของพหุนามเมื่อแทน x เป็นรากของตัวหาร” นี่คือวิธีที่ฉันใช้ทบทวนก่อนสอบ ม.4 แล้วทำข้อสอบได้ไวขึ้นมาก 1) กรณีตัวหารเป็นรูป x−a ถ้าเอา P(x) หารด้วย (x−a) เศษจะเท่ากับ P(a) ทันที (เศษเป็นจำนวนคงที่) ตัวอย่างคลาสสิกจากบทนี้: - ให้ P(x)=x^2−2x+1 ถ้าหารด้วย x−1 ⇒ a=1 ดังนั้นเศษ = P(1)=1^2−2(1)+1=0 แปลว่า “ลงตัว” - ถ้าหารด้วย x+2 ให้มองเป็น x−(−2) ⇒ a=−2 ดังนั้นเศษ = P(−2)= (−2)^2−2(−2)+1=4+4+1=9 2) ทำไมโจทย์ชอบ x+2, x−1 เพราะเป็นตัวหารดีกรี 1 ทำให้เศษเป็น “ค่าคงที่” ไม่ต้องตั้งหารยาว แค่แทนค่าเดียวจบ แต่ระวังเครื่องหมาย: x+2 คือ a=−2 เสมอ 3) กรณีตัวหารเป็นรูป ax−b (เช่น 2x−1) หลายคนพลาดตรงนี้ แต่ทำได้ง่ายมาก: ทำให้ ax−b = 0 ก่อน แล้วแทนค่า x นั้น เช่น หารด้วย 2x−1 ⇒ 2x−1=0 ⇒ x=1/2 ดังนั้นเศษ = P(1/2) ลองกับ P(x)=x^2+1 ⇒ เศษ = (1/2)^2+1 = 1/4+1 = 5/4 ทริกของฉันคือ “แก้สมการให้ได้ x ก่อน” แล้วค่อยแทน ไม่ต้องแปลงตัวหารให้เป็น x−a ก็ได้ 4) เช็กคำตอบเร็ว ๆ ว่า ‘ลงตัว’ ไหม ถ้าแทนค่าแล้วได้ 0 แปลว่าหารลงตัวทันที เช่น P(1)=0 แล้วหารด้วย x−1 ต้องลงตัวแน่ ๆ ข้อนี้ช่วยตัดตัวเลือกในข้อสอบปรนัยได้ดี 5) สรุปจำให้ขึ้นใจ - หารด้วย x−a ⇒ เศษ = P(a) - หารด้วย x+a ⇒ เศษ = P(−a) - หารด้วย ax−b ⇒ แก้ ax−b=0 แล้วแทนค่าใน P(x) ถ้าฝึกกับพหุนามที่เจอบ่อยอย่าง x^2−2x+1 และ x^2+2x−4 แล้วลองเปลี่ยนตัวหารเป็น x−1, x+2, 2x−1 สลับไปมา จะเริ่มเห็นแพตเทิร์น และทำโจทย์ทฤษฎีบทเศษเหลือได้เร็วแบบไม่ต้องตั้งหารจริง ๆ